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小升初8道经典数学行程问题及解析

1、甲、乙两人分别从相距 100 米的 A 、B 两地出发,相向而行,其中甲的速度是 2 米每秒,乙的速度是 3 米每秒。一只狗从 A 地出发,先以 6 米每秒的速度奔向乙,碰到乙后再掉头冲向甲,碰到甲之后再跑向乙,如此反复,直到甲、乙两人相遇。问在此过程中狗一共跑了多少米? 
这可以说是最经典的行程问题了。不用分析小狗具体跑过哪些路程,只需要注意到甲、乙两人从出发到相遇需要 20 秒,在这 20 秒的时间里小狗一直在跑,因此它跑过的路程就是 120 米。
说到这个经典问题,故事可就多了。下面引用某个经典的数学家八卦帖子: John von Neumann 曾被问起一个中国小学生都很熟的问题:两个人相向而行,中间一只狗跑来跑去,问两个人相遇后狗走了多少路。诀窍无非是先求出相遇的时间再乘以狗的速度。 Neumann 当然瞬间给出了答案。提问的人失望地说你以前一定听说过这个诀窍吧。 Neumann 惊讶道:“什么诀窍?我就是把狗每次跑的都算出来,然后计算无穷级数……”
2、假设你站在甲、乙两地之间的某个位置,想乘坐出租车到乙地去。你看见一辆空车远远地从甲地驶来,而此时整条路上并没有别人与你争抢空车。我们假定车的行驶速度和人的步行速度都是固定不变的,并且车速大于人速。为了更快地到达目的地,你应该迎着车走过去,还是顺着车的方向往前走一点?
在各种人多的场合下提出这个问题,此时大家的观点往往会立即分为鲜明的两派,并且各有各的道理。有人说,由于车速大于人速,我应该尽可能早地上车,充分利用汽车的速度优势,因此应该迎着空车走上去,提前与车相遇嘛。另一派人则说,为了尽早到达目的地,我应该充分利用时间,马不停蹄地赶往目的地。因此,我应该自己先朝目的地走一段路,再让出租车载我走完剩下的路程。
其实答案出人意料的简单,两种方案花费的时间显然是一样的。只要站在出租车的角度上想一想,问题就变得很显然了:不管人在哪儿上车,出租车反正都要驶完甲地到乙地的全部路程,因此你到达乙地的时间总等于出租车驶完全程的时间,加上途中接人上车可能耽误的时间。从省事儿的角度来讲,站在原地不动是最好的方案!
不过不少人都找到了这个题的一个 bug :在某些极端情况下,顺着车的方向往前走可能会更好一些,因为你或许会直接走到终点,而此时出租车根本还没追上你!
3、某人上午八点从山脚出发,沿山路步行上山,晚上八点到达山顶。不过,他并不是匀速前进的,有时慢,有时快,有时甚至会停下来。第二天,他早晨八点从山顶出发,沿着原路下山,途中也是有时快有时慢,最终在晚上八点到达山脚。试着说明:此人一定在这两天的某个相同的时刻经过了山路上的同一个点。
这个题目也是经典中的经典了。把这个人两天的行程重叠到一天去,换句话说想像有一个人从山脚走到了山顶,同一天还有另一个人从山顶走到了山脚。这两个人一定会在途中的某个地点相遇。这就说明了,这个人在两天的同一时刻都经过了这里。
4、船在静水中往返 A 、 B 两地和在流水中往返 A 、 B 两地相比,哪种情况下更快?
这是一个经典问题了。答案是,船在静水中更快一些。注意船在顺水中的实际速度与在逆水中的实际速度的平均值就是它的静水速度,但由前一个问题的结论,实际的总平均速度会小于这个平均值。因此,船在流水中往返需要的总时间更久。
考虑一种极端情况可以让问题的答案变得异常显然,颇有一种荒谬的喜剧效果。假设船刚开始在上游。如果水速等于船速的话,它将以原速度的两倍飞速到达折返点。但它永远也回不来了……
5、 甲、乙、丙三人百米赛跑,每次都是甲胜乙 10 米,乙胜丙 10 米。则甲胜丙多少米?
答案是 19 米。“乙胜丙 10 米”的意思就是,等乙到了终点处时,丙只到了 90 米处。“甲胜乙 10 米”的意思就是,甲到了终点处时,乙只到了 90 米处,而此时丙应该还在 81 米处。所以甲胜了丙 19 米。
6、 哥哥弟弟百米赛跑,哥哥赢了弟弟 1 米。第二次,哥哥在起跑线处退后 1 米与弟弟比赛,那么谁会获胜?
答案是,哥哥还是获胜了。哥哥跑 100 米需要的时间等于弟弟跑 99 米需要的时间。第二次,哥哥在 -1 米处起跑,弟弟在 0 米处起跑,两人将在第 99 米处追平。在剩下的 1 米里,哥哥超过了弟弟并获得胜利。
7、 如果你上山的速度是 2 米每秒,下山的速度是 6 米每秒(假设上山和下山走的是同一条山路)。那么,你全程的平均速度是多少?
这是小学行程问题中最容易错的题之一,是小孩子们死活也搞不明白的问题。答案不是 4 米每秒,而是 3 米每秒。不妨假设全程是 S 米,那么上山的时间就是 S/2 ,下山的时间就是 S/6 ,往返的总路程为 2S ,往返的总时间为 S/2 + S/6 ,因而全程的平均速度为 2S / (S/2 + S/6) = 3 。
其实,我们很容易看出,如果前一半路程的速度为 a ,后一半路程的速度为 b ,那么总的平均速度应该小于 (a + b) / 2 。这是因为,你会把更多的时间花在速度慢的那一半路程上,从而把平均速度拖慢了。事实上,总的平均速度应该是 a 和 b 的调和平均数,即 2 / (1/a + 1/b) ,很容易证明调和平均数总是小于等于算术平均数的。
8、你需要从机场的一号航站楼走到二号航站楼。路途分为两段,一段是平地,一段是自动传送带。假设你的步行速度是一定的,因而在传送带上步行的实际速度就是你在平地上的速度加上传送带的速度。如果在整个过程中,你必须花两秒钟的时间停下来做一件事情(比如蹲下来系鞋带),那么为了更快到达目的地,你应该把这两秒钟的时间花在哪里更好?
很多人可能会认为,两种方案是一样的吧?然而,真正的答案却是,把这两秒花在传送带上会更快一些。这是因为,传送带能给你提供一些额外的速度,因而你会希望在传送带上停留更久的时间,更充分地利用传送带的好处。因此,如果你必须停下来一会儿的话,你应该在传送带上多停一会儿。
 

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